Mathématiques de base Exemples

$\frac{a^{- 1} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5}{25 - a^{- 2}}$

Étape 1.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} - 5 \cdot \frac{a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Étape 1.3

Associez $- 5$ et $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1}{a} + \frac{- 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{25 - a^{- 2}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - a^{- 2}}$

Étape 2.2

Réécrivez $a^{- 2}$ comme ${(a^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{5^{2} - {(a^{- 1})}^{2}}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = a^{- 1}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + a^{- 1}) (5 - a^{- 1})}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(5 + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Étape 2.4.2

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{(\frac{5 a}{a} + \frac{1}{a}) (5 - a^{- 1})}$

Étape 2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - a^{- 1})}$

Étape 2.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (5 - \frac{1}{a})}$

Étape 2.4.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} (\frac{5 a}{a} - \frac{1}{a})}$

Étape 2.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{5 a + 1}{a} \cdot \frac{5 a - 1}{a}}$

Étape 3

Multipliez $\frac{5 a + 1}{a}$ par $\frac{5 a - 1}{a}$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a \cdot a}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a}}$

Étape 4.2

Élevez $a$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1} a^{1}}}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{1 + 1}}}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1 - 5 a}{a}}{\frac{(5 a + 1) (5 a - 1)}{a^{2}}}$

Étape 5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a^{2}}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 6

Annulez le facteur commun de $a$ .

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Étape 6.1

Factorisez $a$ à partir de $a^{2}$ .

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 5 a}{a} \cdot \frac{a \cdot a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 6.3

Réécrivez l’expression.

$(1 - 5 a) \frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 7

Multipliez $1 - 5 a$ par $\frac{a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$ .

$\frac{(1 - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $1 - 5 a$ et $5 a - 1$ .

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- 1 (- 1) - 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 5 a$ .

$\frac{(- 1 (- 1) - (5 a)) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 1) - (5 a)$ .

$\frac{- 1 (- 1 + 5 a) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 (5 a - 1) a}{(5 a + 1) (5 a - 1)}$

Étape 8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 a}{5 a + 1}$

Étape 9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{a}{5 a + 1}$